[2015년 가좌고]

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[2학년 1학기 중간 미적분1]

다음 중 수렴하는 수열인 것을 고르면? [3.0점]

①

① [eqn: 1,```1over8 ,```1over27 ,```cdots,```1overn^3 ,```cdots]

② [eqn: 2,```3, ```2,```3,```cdots,```2,```3,```cdots]

③ [eqn: 1+ 1over2 ,```2+ 1over3,```3+ 1over4 ,```cdots,```n+ 1overn+1 ,````cdots]

④ [eqn: 1,```0,```1,```0,```cdots ,```{1-(-1)^n} over 2 ,```cdots]

⑤ [eqn: 1,```2,```3,```cdots,```n,```cdots]

[eqn: lim_n->inf {3n^2 +5n } over {n^2 +2n +4} + lim_n->inf ( sqrt { 4n^2 +3n} -2n )]의 값은? [3.4점]

③

① [eqn: 3]	② [eqn: 7over2]	③ [eqn: {15} over {4}]

④ [eqn: 9over2]	⑤ [eqn: 21 over4]

두 함수 [eqn: f(x)= {cases{{x ^{2} +3x+2} over {x+1}&```(x != -1)#0&```(x=-1)}}], [eqn: g(x) =[x]]에 대해서
[eqn: lim _{n -> -1} {} f(x)+ lim _{x -> 210-} {} g(x)]의 값은? (단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]를 넘지 않는 최대 정수이다.) [4.6점]

②

① [eqn: 209]	② [eqn: 210]	③ [eqn: 211]

④ [eqn: 212]	⑤ [eqn: 213]

다항함수 [eqn: g(x)]에 대하여 극한값 [eqn: lim_x->2 {g(x) -2x} over x-2]가 존재한다.
다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x) +x =(x-2)g(x) +2]를 만족시킬 때,
[eqn: lim_x->2 {f(x)g(x) over {x^2 -4]의 값은? [4.5점]

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: left{a_n right}]이 [eqn: a_1 =4], [eqn: a_2 = 16]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a_n+1 ^2 = a_n cdota_n+2]를 만족시킬 때, [eqn: lim_n->inf {-3^n+1 +a_n +4} over {3^n-1 -a_n]의 값은? [4.5점]

⑤

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

실수 전체에서 정의된 함수 [eqn: f(x) = sum_k=1^inf x^m over{(1+x^2 )^k-1]가 [eqn: x=0]에서 연속이 되기 위한 자연수 [eqn: m]의 최솟값은? [4.6점]

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정사각형 [eqn: {rmA}_1{rmB}_1{rmC}_1{rmD}_1]에 내접하는 원을 그린 후 원에 외접하고 정사각형 [eqn: {rmA}_1{rmB}_1{rmC}_1{rmD}_1]의 꼭짓점을 공유하는 네 개의 정사각형 [eqn: F_1]을 그린다. 또 이 네 개의 정사각형과 원의 교점 [eqn: {rmA}_2], [eqn: {rmB}_2], [eqn: {rmC}_2], [eqn: {rmD}_2]를 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: {rmA}_2{rmB}_2{rmC}_2{rmD}_2]에 내접하는 원을 그린 후 원에 외접하고 정사각형 [eqn: {rmA}_2{rmB}_2{rmC}_2{rmD}_2]의 꼭짓점을 공유하는 네 개의 정사각형 [eqn: F_2]를 그린다. 이와 같은 방법을 반복하여 원과 정사각형을 한 없이 그려 나갈 때, [eqn: n]번째 그려진 네 개의 정사각형 [eqn: F_n]의 넓이의 합을 [eqn: S_n]이라 하자. 이 때 [eqn: sum_n=1^inf S_n]의 값은? [4.8점]

⑤

① [eqn: 28-32 sqrt { 2}]	② [eqn: 48- 24 sqrt { 2}]	③ [eqn: 28-24 sqrt { 2}]

④ [eqn: 32-24 sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 48-32 sqrt { 2}]

두 수열 [eqn: left{a_n right], [eqn: left{b_n right]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.8점]

①

ㄱ. [eqn: a_n != 0]이고, 급수 [eqn: sum_n=1^inf a_n]이 수렴하면

급수 [eqn: sum_n=1^inf 1overa_n]은 발산한다.

ㄴ. 두 수열 [eqn: left{a_n right], [eqn: left{b_n right]이 각각 수렴하고,

수열 [eqn: left{a_n - b_n right]이 양의 값에 수렴하면

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: b_n le a_n]이다.

ㄷ. [eqn: b_n != 0]이고, 두 수열 [eqn: left{a_n - b_n right], [eqn: left{b_n right]이 각각

수렴하면 수열 [eqn: a_n over b_n]은 수렴한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

급수 [eqn: sum_n=1^inf {-2^n +(-3)^n} over(-4)^n]의 값은? [3.6점]

⑤

① [eqn: 4over3]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 8over3]

④ [eqn: 10 over3]	⑤ [eqn: 4]

급수 [eqn: SUM_n=1^inf 2 over {(2n+1)(2n-1)]의 값은? [3.6점]

③

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3over2]	⑤ [eqn: 2]

두 함수 [eqn: f(x)= {cases{x-5&```(x<2)#-3x+2&```(x ge2)}}], [eqn: g(x) = x^2 +5x +k]에 대하여 함수 [eqn: h(x)]를 [eqn: h(x) = f(x) g(x)]라 정의할 때, 함수 [eqn: h(x)]가 실수 전체에서 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: k]의 값은? [4.5점]

④

① [eqn: -20]	② [eqn: -18]	③ [eqn: -16]

④ [eqn: -14]	⑤ [eqn: -12]

함수 [eqn: f(x) = cases{ {x^2 +ax +b} over{x+1}&```(-2 le x < -1) #-x+c &```(-1 le x le 3)}]는 구간 [eqn: [-2,```3]]에서 연속이다. 이 구간에서 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M-m]의 값은? [4.6점]

②

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

함수 [eqn: f(x) = (-x^2 +1) (x^2 -3x)]과 [eqn: lim _{x -> 2} {} {g(x)-6} over {x ^{2}-4}} =-5]를 만족시키는 다항함수 [eqn: g(x)]에 대하여 함수 [eqn: h(x)]를 [eqn: h(x)=f(x)g(x)]라고 정의할 때, [eqn: h'(2)]의 값은? [4.2점]

④

① [eqn: -105]	② [eqn: -100]	③ [eqn: -95]

④ [eqn: -90]	⑤ [eqn: -85]

[eqn: x=0]에서 미분가능한 함수를 보기에서 있는 대로 고른 것은? [3.1점]

②

ㄱ. [eqn: y=3x^2 +4x -3]

ㄴ. [eqn: y=x |x |]

ㄷ. [eqn: y = x+ |x |]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: x>0]에서 정의된 함수
[eqn: f(x)= lim _{n -> INF } {} {2x ^{n+2} +3ax ^{2} +bx} over {x ^{n} +1}]가 [eqn: x=1]에서 미분가능할 때,
[eqn: a^2 - b^2]의 값은? [4.6점]

②

① [eqn: 2 over 9]	② [eqn: 4 over 9]	③ [eqn: 6 over 9]

④ [eqn: 8 over 9]	⑤ [eqn: 10 over 9]

함수 [eqn: f(x) = 2x^2 -3x +6]에 대하여 [eqn: lim_n->inf n left{f left(2+ 1overn right) - f left(2- 1overn right) right}]의 값은? [3.1점]

④

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

그림은 미분가능한 함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y= -x]의 그래프이다. [eqn: 0<a<b]일 때, 다음 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4.5점]

①

ㄱ. [eqn: f(a) over a > f(b) over b]

ㄴ. [eqn: f` prime (a)<f `prime (b)]

ㄷ. [eqn: f(b)-f(a)>a-b]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

서술형

양의 실수 [eqn: r]에 대하여 [eqn: f(r)= lim_n->inf {r^n-1 +1} over {r^n+1 +r]이라고 할 때,
[eqn: f left({1}over{2}right) + f(1)+ f(3)]의 값을 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오. [8.0점]

[eqn: 28over9]

다음 등식이 성립하도록 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오. [7.0점]

[eqn: a=10], [eqn: b=10 sqrt {5}]

[eqn: lim_x->2 { a sqrt { x+3}-b} over x-2 = sqrt { 5}]

연속함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(0)=k+3], [eqn: f(2)=k-5]을 만족시킬 때, 방정식 [eqn: f(x)=2]이 열린구간 [eqn: (0,```2)]에서 실근을 갖도록 하는 자연수 [eqn: k]의 개수를 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오. [8.0점]

[eqn: 7]개

점 [eqn: (1,```5)]에서 곡선 [eqn: y=-x^2 +x+1]에 그은 접선의 방정식을 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오. [7.0점]

[eqn: y=3x+2], [eqn: y=-5x+10]

[2015년 가좌고]

[2학년 1학기 중간 미적분1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com